1 Optimaliserend ontwerpen
!Loon

Peter Paul van Loon

1.1 De ontwerper als homo economicus............ 243

1.2 Het optimale ontwerp....................................... 245

1.3 De optimale vorm............................................... 245

1.4 De optimale keuze............................................. 246

1.5 Het rekenkundig optimum............................... 246

1.6 De optimale verdeling....................................... 247

1.7 Het economische gezichtspunt...................... 248

1.8 Het wiskundige gezichtspunt......................... 248

1.9 Het beslissingsprobleem van een woningbouwvereniging 249

1.1 De ontwerper als homo economicus

In dit artikel wordt verondersteld dat een ontwerper individueel en constant streeft naar een verbetering van het ontwerp, hij streeft naar een eigen optimum. Elke ontwerper handelt daarbij als een rationele actor die, zodra hij mogelijkheden kent om zijn voorstellen en daarmee ook zijn bijdrage aan het totale ontwerp, te verbeteren, met zijn bestaande voorstellen geen genoegen meer neemt. De ontwerper handelt daarmee doel-rationeel - handelen dat gericht is op bepaalde resultaten, bepaalde doelen. Gebruikmakend van de indeling van M.Weber (1922) staat doel-rationeel handelen naast: traditioneel handelen, het handelen dat bepaald wordt door gewoonten; affectief handelen, het ongeremd reageren op prikkels van buitenaf; en ideëel-rationeel handelen, het doen van wat men zijn opdracht acht, ongeacht de met het handelen te bereiken resultaten.

Voor het doel-rationeel handelen wordt vaak een onderscheid gemaakt tussen economische en niet-economische doelen. De economische doelen zijn doelen waarvan de verwezenlijking beslag legt op schaarse, alternatief bruikbare middelen. Alle overige doeleinden zijn niet-economisch van aard. Het is denkbaar dat economische en niet-economische doelen met elkaar concurreren. Wanneer bijvoorbeeld een bewoner streeft naar een rationeel-economische bevrediging van zijn woonbehoeften door het laten ontwerpen en bouwen van een goedkoop en eenvoudig huis, kan dit negatieve invloed hebben op zijn niet-economische doelen betreffende een statige (dure) en esthetische vorm van het huis. Ik zal beide soorten doelen integreren.

In de jaren 70 werd verondersteld dat voor het bereiken van het eigen optimum elk individu tijdens zijn beslissingsproces handelt als een homo economicus die:

- beschikt over volledige informatie over de verschillende (economische) mogelijkheden;

- volledig rationeel te werk gaat;

- de optimalisering van de verwachte (economische) waarde als doel bereiken wil;

- en zich uitsluitend laat leiden door geëxpliciteerde (meetbare) resultaten.

(Davis and Olsen, 1987 p. 231; Van den Doel, 1978 p. 40; Pellikaan, 1994 p. ?).

Op deze veronderstelling is veel kritiek gekomen: er zou nooit sprake zijn van volledige informatie; ook niet van volledig rationeel handelen; de beslisser streeft bovendien niet altijd naar een optimaal resultaat; en niet-geëxpliciteerde doelen zouden ook een belangrijke rol spelen. Naarmate het inzicht in de feitelijke gang van zaken toenam drong de conclusie zich op dat het gedrag van de beslisser zeker niet altijd consistent en doelgericht is. Bij de besluitvorming worden ook zaken als intuïtie, traditie, vertrouwen en impulsiviteit gehanteerd. Dan worden doelen vaak achteraf aan de hand van al gemaakte keuzes vastgesteld. De beslissingen verlopen daardoor regelmatig in een onvoorspelbare volgorde (Boersma, 1989 p. 28; Pellikaan, 1994).

Deze conclusie wil niet zeggen dat elke methode die er vanuit gaat dat een individu zijn problemen doelgericht aanpakt, gedoemd is te mislukken (Van den Doel, 1978 p. 39). Daarom zal ik in mijn bespreking van het interorganisatorisch ontwerpen toch de meeste werkzaamheden hierin als doelgericht beschouwen. In de praktijk zal er zeker ook ontworpen worden zonder dat expliciet doelen geformuleerd zijn en dus zullen er ook zowel tijdens het ontwerpen als achteraf, 'passende' doelen worden opgesteld. Voor deze situaties ga ik ervan uit dat er toch altijd nog een reconstructie van de relatie tussen de doelen en oplossingen te maken is.

In de besliskunde wordt in verband met deze inconsistentie van de beslisser gesproken van de 'beperkte rationaliteit', hetgeen te maken heeft met beperkingen van mensen als beslissers (Boersma, 1989, p.23). Deze beperkingen hebben betrekking op de volgende drie punten:

· het beeld van het beslissingsprobleem

Het probleem is als gevolg van onvoldoende kennis van de realiteit niet altijd een 'gegeven' en is daardoor moeilijk definieerbaar. Het beeld is beperkt en ook subjectief.

· de beschikbaarheid van oplossingen

De (alternatieve) oplossingen zijn gewoonlijk niet gegeven, maar dienen te worden gezocht of ontworpen

· de kennis van de effecten van de oplossingen

Wat er met bepaalde oplossingen bereikt kan worden is vaak niet bekend.

Herbert Simon heeft daarom betoogd dat het onmogelijk is om voortdurend te optimaliseren, de betere situatie na te streven. Hij heeft als alternatief het 'satisficing'-principe geïntroduceerd (Simon, 19..; Boersma, 1989 pp 20-22). Dit principe stelt dat individuen slechts streven naar het bereiken van een beperkt, meestal concreet aspiratieniveau. Dit doen zij omdat: het beeld van het beslissingsprobleem beperkt is tengevolge van onvoldoende kennis van de realiteit; de oplossingen niet beschikbaar zijn maar nog bedacht moeten worden; en de effecten van de oplossingen niet allemaal bekend zijn. Het beslissingscriterium is dan niet geformuleerd als 'het huis moet zo groot mogelijk zijn', maar in de vorm van 'het huis moet 200 m2 vloeroppervlak hebben'.

Een beschrijving van beslissingscriteria in de vorm van concrete aspiratieniveaus, ook al hebben de betrokkenen daarnaast nog (vage) ideeën over nog verdere verbeteringen van hun situatie, biedt belangrijke praktische en theoretische voordelen. Juist dan kan op ondubbelzinnige wijze worden gemeten of het doel wel of niet bereikt is.

Van Den Doel (1978, p.40) stelt, dat uit het feit dat het formuleren van beslissingscriteria in de vorm van aspiratieniveaus voordelen biedt, men niet de conclusie mag trekken dat individuen niet naar een maximaal resultaat streven. De onjuistheid van een dergelijke conclusie toont hij aan door onderscheid aan te brengen tussen subjectieve rationaliteit en objectieve rationaliteit. Een beslissing is subjectief rationeel indien een beslisser zijn doelstellingsfunctie op een zo hoog mogelijk niveau tracht te brengen. Een beslissing is objectief rationeel indien het maximum daadwerkelijk wordt bereikt. Verschil tussen subjectieve en objectieve rationaliteit ontstaat enerzijds door gebrek aan informatie over mogelijke alternatieven en hun implicaties, anderzijds door de onmogelijkheid om alle informatie te verwerken. De beslisser optimaliseert: hij zoekt naar de beste oplossing binnen gegeven, aangeboden en/of aan hem bekende oplossingen.

Dit toegepast op het ontwerpen wil zeggen dat de individuele ontwerper streeft naar het bereiken van een 'bevredigend niveau' van de ontwerpresultaten. Als hij dit bereikt zal hij niet altijd voldaan zijn. Zodra de informatie toeneemt, verschuift het aspiratieniveau naar boven en zal hij trachten een hoger niveau te realiseren.

De voorafgaande ideeën over het optimaliseren van de individuele beslisser worden vaak ook toegepast op een heel team. Men redeneert dan als volgt: in een team worden alle ideeën en voorstellen van de individuele teamleden verzameld, deze worden vervolgens naar voorkeur geordend en dan gecombineerd tot alternatieven oplossingen voor de opgave. Daaruit kiest het team de beste uitkomst. Op deze redenering is het merendeel van wat genoemd kan worden de 'klassieke', ook wel 'systematische' ontwerpmethoden gebaseerd. Zij worden in de praktijk nog steeds het meest gebruikt. De ontwikkelingsgeschiedenis van deze methoden is een aaneenschakeling van uitvindingen om in teamverband het ordening-, combinatie- en selectieproces beter, efficienter en sneller te laten verlopen. Maar toch heeft dit niet kunnen voorkomen dat toen de ontwerpopgaven complexer werden, waardoor de teams met zeer verschillende disciplines bemand werden en in omvang toenamen, het ontwerpproces steeds vaker 'vast' liep. Door de enorme hoeveelheid deeloplossingen welke in die grote teams ontstonden en door de daarmee gepaard gaande ingewikkeldheid van de combinatie van mogelijkheden, kon een voor ieder bevredigende (optimale) oplossing eigenlijk niet meer gevonden worden. De technische verfijningen van de klassieke methoden, verfijningen op het gebied van rekenprocedures voor combinatie en selectie, loste dit niet op. Ze maakten het vaak juist erger. Ze leidden nog al eens tot zo veel mogelijkheden dat er een 'combinatorisch explosie' ontstond. Dit wil zeggen dat de berekeningstijd die nodig was om in al deze mogelijkheden de beste combinatie te vinden zo excessief was gestegen dat het zoekproces nagenoeg onbeheersbaar was geworden.

In de praktijk keerden veel professionele ontwerpers zich daarom af van de hen op school zo mooi geleerde systematische ontwerpmethoden. Zij trokken zich terug om 'gewoon goede plannen te maken', die zij vervolgens met veel overtuigingskracht en charisma probeerden te realiseren.

1.2 Het optimale ontwerp

Voor een beschrijving van het begrip 'optimaal ontwerp' is een eenduidig begrippenapparaat niet beschikbaar. In de literatuur komen zeer verschillende aanduidingen en zienswijzen voor. Ze zijn over vele afzonderlijke publikaties versnipperd. Ik zal deze eerst samenvatten in de vorm van vier opvattingen:

· de ontwerpopvatting betrefende de optimale vorm;

· de planningopvatting betreffende de optimale keuze;

· de mathematische opvatting betreffende het rekenkundig optimum;

· de welvaartstheoretische opvatting betreffende de optimale verdeling.

1.3 De optimale vorm

De ontwerpopvatting over optimaliteit en het optimale ontwerp is te vinden in de architectonische ontwerptheorie en ook in de algemene ontwerpmethodologie. Daar wordt ingegaan op wat genoemd wordt het 'goede' ontwerp, het 'beste' ontwerp en het ontwerp van 'grote kwaliteit'. Architecten gebruiken daarvoor meestal de term 'optimale vorm'. De verschillende theoretische en methodische achtergronden daarvan zijn vooral te vinden in de handboeken over ontwerpen en ontwerpmethoden zoals Jones (1970), Broadbent (1973), Foqué (1975), Lawson (1980).

De ontwerpopvatting kan getypeerd worden met een drietal aspecten van de optimaliteit van een ontwerp. Het eerste aspect betreft de optimale kwaliteit. Vooral de architecten houden zich hiermee bezig. Architecten zijn van mening dat hun belangrijkste taak is een ontwerp te bereiken van een zo hoog mogelijke architectonische kwaliteit. Volgens hen wordt deze kwaliteit bepaald in het debat tussen de ontwerpers onderling en tussen de ontwerpers en de ontwerpcritici. Daar wordt vastgesteld welke stromingen er zijn, welke stijl is toegestaan en wat kwalitatief goed en niet goed is (Wet op de Architecten Titel, 1987; Ruimte Voor Architecten, 1991). De beste ontwerpen zijn die ontwerpen die door de architectengemeenschap en hun critici het best gevonden worden. Deze methode is overigens heel vergelijkbaar met beoordelingen en keuzes in de kunst (beeldende kunst, muziek, dans etc.). Er wordt vaak gezegd dat op deze manier het optimum bepaald moet worden omdat de buitenstaanders (opdrachtgevers en gebruikers) toch niet weten wat 'goede architectonische kwaliteit' is. Alleen professionals kunnen dit bepalen.

Het tweede aspect betreft de optimale selectie en combinatie van deeloplossingen. Dit aspect komt van de kant van de ontwerptheoretici. Zij stellen dat een optimaal ontwerp alleen bereikt kan worden met een optimaal ontwerpproces. Dit proces is pas optimaal als eerst systematisch en expliciet alle deeloplossingen verzameld en geselecteerd worden en daarna stapsgewijs een combinatie van de gekozen deeloplossingen wordt gemaakt. Daarbij wordt onderkent dat de keuzes in het selectie- en combinatieproces niet alleen bepaald worden door de eisen die aan het nieuwe produkt gesteld worden (die eisen zijn toch nooit compleet en eenduidig), maar ook door de vindingrijkheid van de ontwerper en door de op dat moment geldende opvattingen in het vakgebied over wat het beste is of over wat gebruikelijk en in de mode is.

Het derde aspect betreft het optimaal voldoen aan de eisen. Dit is het meest praktische aspect. Daarbij wordt er vanuit gegaan dat de eisen door een opdrachtgever zo geformuleerd zijn dat de ontwerper precies weet in welke mate zijn ontwerp aan de eisen voldoet. De eisen hoeven overigens niet aan het begin van het proces compleet en expliciet te zijn. In de loop van het proces kunnen ze geconcretiseerd worden. Het wordt wel nodig geacht dat de opdrachtgever en de ontwerper zich ieder aan de eigen rol houden: de opdrachtgever stelt de eisen, de ontwerper maakt de oplossing.

Er zijn in het verleden heel wat pogingen gedaan deze drie aspecten methodisch met elkaar in verband te brengen. De systeemleer, vooral de mathematische stroming daarin, en de operations research vormden hierbij meestal de grondslag. Er werden dan wel geen integrale wiskundige modellen voor het ontwerpen nagestreefd, maar wel werd het ontwerpproces systematisch, bijna wiskundig, geanalyseerd en in een groot aantal deelprocessen uiteengelegd. Er zijn toen methoden ontwikkeld die voorschrijven hoe de afzonderlijke deelprocessen het best gestructureerd kunnen worden opdat optimale deelresultaten bereikt worden. In de zestiger jaren is hiervoor een hele generatie ontwerpmethoden ontstaan. Jones (1970) heeft deze samengevat en enige lijn gebracht in een toen chaotisch geheel van deze nieuwe ontwerpmethoden.

Toch drong na talrijke studies en experimenten het besef door dat op deze manier niet tot eenduidige voorwaarden gekomen kon worden voor het bereiken van een optimaal ontwerp. Een optimaal ontwerp bleek niet louter een optelling van optimale deelontwerpen. Foqué (1975, p.63) stelt dan ook dat deze integratiepogingen té technocratisch waren, gebaseerd op een té sterk geloof in het logisch analytisch denkproces, in de totale rationalisatie van het handelen en in de 'scientific method'. Deze negatieve conclusie heeft de ontwikkeling van de ontwerptheorie en ontwerpmethodologie jarenlang belemmerd. Pas in de 80-er jaren bij de opkomst van de microcomputer en het Computer Aided Design (CAD) is hier een nieuwe opleving in ontstaan. Maar een hernieuwde studie van het optimale ontwerp is daarbij helaas nog niet van de grond gekomen. Met de introductie van het interorganisatorisch perspectief probeer ik in dit proefschrift juist daarvoor een fundament te leggen.

1.4 De optimale keuze

De planningopvatting over een optimaal ontwerp is te vinden in de planningtheorie. De planningopvatting is een uitwerking van één aspect van de ontwerpopvatting, namelijk de optimale selectie van deeloplossingen. Planners spreken van de 'optimale keuze uit alternatieve mogelijkheden'. Dit is in verschillende richtingen gebeurd.

In de planningtheorie wordt er vanuit gegaan dat de problemen die planners moeten oplossen 'ill-defined' zijn. Want er is onzekerheid zowel m.b.t. de omgeving waarin de problemen zich afspelen als m.b.t. de waarden en doeleinden die nagestreefd moeten worden. (Faludi, 1973, p.95, gebaseerd op Friend & Jessop, 1969). Daardoor zijn de problemen niet volledig te kwantificeren. De kwantitatieve planningstechnieken kunnen dan ook niet gebruikt worden. Om toch een optimale uitkomst te garanderen moet een 'rational planning process' gevolgd worden: 'enumerate the finite number of alternatieve programmes, evaluate them, and select one thereby invoking a decision rule like (mathematical, PPvL) optimisation'(Faludi, 1973, p.94).

Verschillende auteurs hebben in deze lijn prescriptieve modellen ontwikkeld voor het planningproces (Friend & Jessop, 1969; McLouglin, 1969; Chadwick, 1971; Faludi, 1973). Zij zien het planningproces niet als een strak schema van activiteiten dat van te voren helemaal bepaald is, maar als een leerproces. Naarmate het probleem verkend wordt en alternatieve oplossingen bedacht worden komt men steeds meer te weten waardoor het probleem beter begrepen wordt en er ook betere oplossingen bedacht kunnen worden. Als dit proces systematisch en rationeel gestructureerd is wordt het beste (optimale) plan 'vanzelf' gevonden.

1.5 Het rekenkundig optimum

De mathematische opvatting over optimaliteit en het optimale ontwerp is onder andere te vinden in de operations research (OR). De OR gebruikt de term 'rekenkundig optimum' veel. Operations research is "the application of scientific methods, techniques and tools to problems involving the operations of a system such as to provide those in control of the system with optimal solutions to the problem" (Churchman, Ackhoff & Arnoff, 1957, p.18 in Boersma). Daarbij staan de zogenaamde 'wiskundige beslissingsmodellen' centraal. Het gaat in de operations research om 'the scientific method' d.w.z. dat 'a scientific (typically mathematical) model' wordt geconstrueerd dat de essentie van het reële beslissingsprobleem weergeeft en waarmee de optimale uitkomst kan worden berekend. Hierbij wordt de veronderstelling gehanteerd, dat het mogelijk is een zodanige wiskundige afbeelding van de werkelijkheid te maken dat de verkregen wiskundig optimale oplossingen valide zijn voor die werkelijkheid.

In de operations research zijn verschillende modellen opgesteld voor verschillende typen beslissingsproblemen (Ackoff & Sasieni, 1968 en Wagner, 1972). Hoewel deze modellen vanuit een wiskundig standpunt bezien gecompliceerd kunnen zijn - praktijkproblemen zijn immers vaak ingewikkeld - is de basisstructuur van de modellen eenvoudig (Boersma,1989,p.52-54). Met het 'lineaire programmerings'-model (LP-model) is deze structuur het beste uit te leggen.

Het LP model bestaat uit een stelsel lineaire vergelijkingen (gelijkheden en ongelijkheden). Met behulp van het simplex algoritme kan dit model wiskundig opgelost worden. Het oplossingsproces wordt lineair programmeren genoemd: het bepalen (d.w.z. op systematische wijze berekenen) van een minimum of een maximum van een lineaire functie - de doelfunctie of objectfunctie genoemd -, binnen het gebied, dat gedefinieerd wordt door lineaire vergelijkingen - constraints genoemd. Het in par 2.2.1 behandelde probleem van de woningbouwvereniging is hier een voorbeeld van.

Een mathematische definiëring van het optimale ontwerp is voor de operations research betrekkelijk simpel: die uitkomst van het wiskundig model waarvan de waarde van de doelfunctie het beste is, d.w.z. het hoogst is (bij maximalisatie) of het laagst (bij minimalisatie).

De mathematische optimalisatie wordt bij economische en bedrijfskundige vraagstukken veel gebruikt. Het zijn dan vooral financiële en organisatorische doelen die geoptimaliseerd worden: een maximale winst, de meest efficiënte werkverdeling, de snelste produktiestroom e.d. Ook in de bouwkunde en stedebouwkunde zijn er toepassingen. Ook daar heeft de mathematische optimalisatie voornamelijk betrekking op financiële en bedrijfstechnische doelen, zoals zoveel mogelijk woningen in gebied B, optimale verdeling van vloeroppervlak en grondgebruik, minimalisatie van energie verbruik e.d. (zie o.a. Radford & Gero, 1988; Lee, 1973; Catanese, 1972). De doelen die betrekking hebben op zaken als de kwaliteit van woonomgevingen, de eerlijke verdeling van schaarse ruimte en het behoud van bestaande cultuur of milieu waarden komen dan niet aan bod. Door de 'technische-sfeer' rond de mathematische optimalisatie hebben 'zachte' (maatschappelijk) belangen zich altijd laten afschrikken. Dat is niet terecht. Ook doelen m.b.t. waardering, eerlijkheid e.d. kunnen met de mathematische optimalisatie verwerkt worden (zie P.P. van Loon, 1998).

1.6 De optimale verdeling

De laatste opvatting over een optimaal ontwerp ontleen ik aan de 'welvaartstheorie'. Zover mij bekend houdt de welvaartstheorie zélf zich niet bezig met ontwerpen. Helaas, moet ik zeggen. Deze theorie zou van grote betekenis kunnen zijn voor het gedeconcentreerd ontwerpen. In het verloop van dit boek wil ik dit aantonen. Met deze theorie is een verbinding te maken tussen het democratisch besturen en besluiten enerzijds en het ontwerpen in een interorganisatorisch verband anderzijds. Deze verbinding is onder andere nodig om de kloof te overbruggen die ik in par.1.1 beschreven heb tussen de democratisch georganiseerde groep belanghebbenden en de groep professionele ontwerpers.

De welvaartstheorie is een onderdeel van de economie. De beoefenaren van deze theorie houden zich bezig met de groepswelvaart. Daaronder verstaan zij niet de materiële welstand van een groep op zich, maar het groepswelzijn voor zover dat afhankelijk is van schaarse (economische) factoren. De welvaartstheorie bestudeert de toedeling van waarden meestal in de vorm van collectieve goederen, binnen een groep (een samenleving) waarbij zij zowel de baten als de offers betrekt die door een bepaalde toedeling teweeg worden gebracht (Van Den Doel, 1978, p.22).

In het criterium van Pareto (1906, in Van Den Doel, 1978 p.59) is een meetschaal geformuleerd voor toename van de collectieve welvaart van een groep: de collectieve welvaart wordt geacht te zijn toegenomen als de welvaart van één of meer leden van de betreffende groep groter wordt zonder dat de welvaart van één of meer andere leden van die groep kleiner wordt. Het criterium houdt niet alleen een maatstaf in voor de bepaling van de richting van een welvaartsvergroting maar ook voor de bepaling van het eindpunt daarvan. De collectieve welvaart is volgens het criterium optimaal, zodra het niet meer mogelijk is het welvaartsniveau van één of meer individuen te verhogen zonder dat van één of meer andere individuen te verlagen.

Het criterium van Pareto houdt geen waarde oordeel in (Van Den Doel, 1978, p.60). De collectieve welvaart moet niet toenemen volgens dit criterium maar met dit criterium kan de welvaartsvergroting beoordeeld (gemeten) worden. Daarbij moet wel bekend zijn aan welke groepen deze vergroting ten deel valt. "Wanneer bijvoorbeeld uitsluitend individuen met relatief hoge inkomens van de welvaartsvergroting zouden profiteren, heeft de welvaartsverandering een denivellerend effect en kan men haar, hoewel aan het criterium van Pareto is voldaan, op grond van dit verdelingseffect afwijzen."(Van Den Doel, p. 60)

Als een ontwerp beschouwd wordt als een plan voor de verdeling van baten en kosten over de betrokkenen, kan het criterium van Pareto ook in dit verband gebruikt worden: het ontwerp is optimaal als het niet meer tot voordeel van een of meer betrokkenen verbeterd kan worden zonder een verlaging van de voordelen van een of meer andere betrokkenen tot gevolg te hebben. Dit laatste betreft de voordelen die ieder met de realisatie van het laatst overeengekomen ontwerp zou krijgen. In de volgende paragraaf ga ik hierop verder in.

De praktische bezwaren tegen het criterium van Pareto betreffen het probleem dat welvaartsveranderingen, die voldoen aan het criterium, niet vaak voorkomen. Bijna elke vooruitgang in welvaart voor sommigen, gaat samen met achteruitgang voor anderen. Van den Doel geeft aan dat het 'compensatie beginsel' is geformuleerd om dit bezwaar te ondervangen: als beoordeling voor de welvaartstoename wordt dan ook gekeken of de winnaars de verliezers schadeloos kunnen stellen. 'Indien de winst van een bepaalde welvaartsverandering voor de winnaars zo groot is, dat daaruit niet alleen de verliezers voor hun verlies zouden kunnen worden gecompenseerd, maar dat daarna bovendien een netto-winst zou overblijven, kan gesteld worden dat de welvaartsverandering potentieel een welvaartsverbetering is op grond van het criterium van Pareto (Van Den Doel, 1978, p. 61).

Het individuele optimum

1.7 Het economische gezichtspunt

Vanuit een economisch gezichtspunt is het individuele optimum voor individuele goederen betrekkelijk simpel: de situatie waarin voor het individu zijn consumentensurplus maximaal is. Het consumentensurplus van een individu is het maximale geldbedrag dat het individu voor een bepaalde hoeveelheid van een goed desnoods zou willen opofferen (= marginale baten) verminderd met het geldbedrag dat het daadwerkelijk opoffert (= marginale kosten). In Figuur 2.25 is dit grafisch uitgebeeld. De marginale baten zijn een optelling van de bedragen (B) die een individu maximaal wil betalen per eenheid. Hierbij wordt ervan uitgegaan dat, nadat van een bepaald goed het eerste exemplaar is aangeschaft ieder volgend exemplaar minder bevrediging zal schenken d.w.z. minder baten zal opleveren dan het voorafgaande. Bijvoorbeeld kamers in een woning: voor de eerste kamer is het individu bereid B1 te betalen, voor de tweede B2, etc. In Figuur 2.25 is aangegeven dat bij aanschaf van vijf kamers, elke kamer voor dezelfde prijs P, het optimum is bereikt. Want de zesde kamer kost meer dan wat de koper van kamers bereid is voor de zesde te betalen. BCE is de vraagcurve naar kamers.

Figure 2-24 A’s individual optimum for individual goods

Figure 2‑25 B’s individual optimum for individual goods

ad.a. Het individuele optimum voor individuele goederen

1.8 Het wiskundige gezichtspunt

De gangbare structurering van een ontwerpprobleem ten behoeve van wiskundige optimalisatie is te vinden in de Operations Research (OR). Overigens spreekt de OR nooit van een 'ontwerp'-probleem maar altijd van een 'beslissings'-probleem. Zij onderkennen daarmee de vanzelfsprekende relatie tussen een ontwerpprobleem en een beslissingsprobleem echter niet. Want men kan niet over iets beslissen zonder dat men eerst dat 'iets' bedacht (ontworpen) heeft. Een ontwerpprobleem en een beslissingsprobleem zijn met elkaar verbonden. Er moet dus eigenlijk altijd gesproken worden van een 'ontwerp-beslissings'-probleem. Verderop ga ik daarop dieper in.

Als uitgangspunt voor de structurering neemt de OR de verzameling van alle alternatieven die de beslissers tot hun beschikking hebben. Deze verzameling (A) bevat de mogelijkheden waaruit gekozen moet worden (Hanken & Reuver, 1977, p. 26-31). Van deze verzameling wordt gesteld dat zij eindig en discreet is. Formeel aangegeven als volgt:

A = {a1,a2,..,an}

Ieder alternatief ai is een element van de verzameling A:

ai ( A

Bijvoorbeeld een architect die wil bepalen welk type woningcomplex het best is, zou als uitgangspunt de volgende verzameling van drie alternatieven kunnen nemen:

a1 = complex half-vrijstaande woningen

a2 = complex appartementen

a3 = complex rijtjeswoningen

A = {a1,a2,a3}

Voor het maken van een keuze, met deze verzameling als basis moeten de alternatieven volgens een preferentierelatie worden geordend. De architect is dan in staat het alternatief met de hoogste preferentie te selecteren.

De behandeling van de alternatieven in dit voorbeeld is natuurlijk nog zeer eenvoudig. In de praktijk zal men altijd alternatieven van samengestelde aard aantreffen. Van de woningcomplexen waaruit men wil kiezen zijn b.v. prijs, grondoppervlak en aantal woningen van belang. Voorbeeldgewijs is dit als volgt weer te geven:

alternative factors

Type of property	Price in guilders	Site area in hectare	Number of units
a1	5x10^6[G]	0.5 [ha]	25 [un]
a2	3x10^6 [G]	0.2 [ha]	40 [un]
a3	4x10^6 [G]	0.3 [ha]	30 [un]

In wiskundige termen zijn prijs, oppervlakte en aantal woningen de variabelen, terwijl a1, a2, en a3 de vectoren zijn. In dit voorbeeld heeft elke vector drie componenten (de toegestane waarde per variabele).

Om ook dit keuze probleem - wat is het beste woningcomplex? - beslisbaar te maken en dus (formeel) op te lossen zal aan de componenten een preferentie waarde moeten worden toegekend. Bijvoorbeeld:

preference score

Type of property	Price in guilders	Site area in hectare	Number of units
a1	6	8	7
a2	9	7	6
a3	9	6	8

Wanneer de dominantie in volgorde prijs, grondoppervlak, aantal woningen is, dan zal het complex type a2 de hoogste preferentie hebben.

Het aantal alternatieven en het aantal componenten kunnen in de praktijk zo groot worden dat het keuzevraagstuk te ingewikkeld en te omvangrijk wordt. Dan kan op basis van het 'satisficing'-principe van Simon een inperking aangebracht worden. Dit principe stelt, zoals wij al zagen in par. 2.3.1, dat een beslisser best genoegen wil nemen met het bekijken van slechts een beperkt aantal alternatieven. Namelijk de alternatieven waarmee hij tevreden zal zijn. Uit dit beperkt aantal wordt de beste keuze gemaakt. Wiskundig wordt dit weergegeven in de vorm van randvoorwaarden (constraints) die opgelegd worden aan de vectoren. Daardoor wordt de beslissingsruimte verdeeld in een 'toegestaan' (of realiserings) gebied en een 'verboden' gebied. In Figuur 5.1 is aangegeven dat de prijs van de woningcomplexen tussen de 3 en 4 miljoen gulden mag liggen en de oppervlakte tussen de 0.2 en 0.4 hectare.

Figure 5-1 The realisation area (shaded)

In Par 2.2.2 is de uitwerking van dit principe al aan gegeven met de oplossing (door middel van de LP-techniek) van het keuzeprobleem van de woningbouwvereniging. De hoeveelheid denkbare combinatiemogelijkheden van het aantal woningcomplexen met het aantal voorzieningencomplexen was met drie randvoorwaarden ingeperkt. Alle oplossingen in het toegestane oplossingsgebied stelden tevreden.

1.9 Het beslissingsprobleem van een woningbouwvereniging

Een woningbouwvereniging wil op een bouwterrein een aantal woningencomplexen en voorzieningeneenheden (winkels, school, sociaal-cultureel gebouw e.d.) gaan bouwen. Het beschikbare bouwterrein is 14.000 m2 groot. De vereniging wil dit plan binnen 16 maanden realiseren. Een woningencomplex (bouwtijd twee maanden) neemt 1000 m2 en een voorzieningeneenheid (bouwtijd één maand) neemt 2000 m2 in beslag. Een woningencomplex kost fl 8 miljoen en een voorzieningeneenheid fl 5 miljoen, te betalen uit een budget van fl 80 miljoen. Het terrein behoeft niet geheel vol gebouwd te worden. Onder de toekomstige bewoners van het terrein is een enquête gehouden. De bewoners waarderen de woningencomplexen in verhouding tot de voorzieningeneenheden als 5 staat tot 3. Men wil zodanig bouwen dat de waardering van de toekomstige bewoners voor de woonbuurt maximaal is. (Dit voorbeeld is opgesteld door Berkhout en De Graaf, gepubliceerd in Van Horssen & Van Der Burgh, 1985, p.57-59).

Dit probleem is wiskundig te vertalen in een lineair-programmeringsmodel (LP-Model). Stel X1 is het aantal woningencomplexen en X2 is het aantal voorzieningeneenheden. Er zijn bij dit probleem twee beslissers: de woningbouwvereniging en de groep toekomstige bewoners. De woningbouwvereniging bepaalt (beslist over) de oppervlakten, de bouwtijden, de bouwkosten en de tijd waarbinnen het project gereed moet zijn. De groep toekomstige bewoners bepaalt haar waardering van de woningen en voorzieningen. Hieruit komen de beslissingsvariabelen. De ingangsvariabelen zijn het totale budget ( maximaal fl 80 miljoen) en de beschikbare grond (maximaal 14.000 m2). Zij zijn bepaald door de lokale overheid in het kader van een algemeen stedebouwkundig plan en een financieringsregeling voor de gemeentelijke woningbouw. De toekomstige bewoners willen hun waardering zo goed mogelijk gehonoreerd zien. Dit betekent dat 5 X1 + 3 X2 maximaal moet worden. De woningbouwvereniging wil binnen 16 maanden het project gebouwd hebben en zij wil ook dat voldaan wordt aan haar beslissingen t.a.v. de bouwkosten, de bouwtijd en de grondoppervlakte. Dit zijn de doelen. In het LP-model zijn deze doelen weer te geven:

1000 X1+2000 X2< 14.000 (grond oppervlak)

2 X1 + X2<16(tijd van de bouw)

8 X1 + 5 X2 < 80 (budget)

maximaliseer:

5 X1 + .3 X2 = U (waardering)

Voor de mathematische oplossing van dit probleem is het simplex algoritme beschikbaar: een mathematische procedure om een LP-model (met 2 of meer onbekenden) op te lossen. Omdat het voorbeeld slechts twee onbekenden heeft kan het ook met een eenvoudige tekening opgelost worden. Dit is simpel uit te leggen en biedt daarom de mogelijkheid de mathematische oplossing van het probleem ook grafisch te illustreren. Het probleem van de woningbouwvereniging kan als volgt worden weergegeven:

Figure 2-5 the solution space (shaded)

Binnen dit gearceerde gebied moet de lineaire functie 5 X1 + 3 X2 (de doelfunctie) gemaximaliseerd worden. We beschouwen de groep evenwijdige lijnen: 5X1 + 3X2 = c. Nu moet c zo groot mogelijk gemaakt worden, rekening houdend met de beperkingen. Bij X1 = 6 en X2 = 4 is dit het geval want dan is c = 42

Figure 2-6 the objective function

Met de bouw van 6 woningcomplexen en 4 voorzieningen eenheden wordt de beste uitkomst bereikt.

Deze modellering van het beslissingsprobleem van de woningbouwvereniging is schematisch als volgt weer te geven: